Szegö-Type Theorems for One-Dimensional Schrödinger Operator with Random Potential (Smooth Case) - Pastur, L.; Shcherbina, M. (Журнал математичної фізики, аналізу, геометрії, 2018)
Ця стаття є продовженням роботи [15], де було поставлено задачу про аналог теореми Сеге для ергодичних операторiв загального вигляду та розглянуто декiлька цiкавих випадкiв. У данiй статтi ми розповсюджуємо результати [15] на ширший клас тестових функцiй та символiв, що задають формули типу Сеге для одновимiрного оператора Шредiнгера з випадковим потенцiалом. Ми доводимо, що в цьому випадку член, що по порядку є наступним пiсля головного у формулi Сеге, вiдповiдає центральнiй граничнiй теоремi у спектральному контекстi, тобто є пропорцiйним $L^{1/2}$, де $L$ є довжиною iнтервалу, на якому ми розглядаємо оператор Шредiнгера. Цей результат слiд порiвняти з класичною формулою Сеге, де вiдповiдний член є обмеженим за $L$, коли $L → ∞$. Ми доводимо аналог стандартної центральної граничної теореми (тобто збiжнiсть ймовiрностi вiдповiдних подiй до гауссiвського закону), а також аналог майже напевно центральної граничної теореми (тобто збiжнiсть з ймовiрнiстю 1 логарифмiчного середнього iндикатора вiдповiдної подiї до гауссiвського закону). Як iлюстрацiю нашого загального методу ми надаємо асимптотичну формулу для "заплутаної" ентропiї вiльних фермiонiв при ненульовiй температурi. Mathematics Subject Classification: 47H10, 60F05, 60F15.